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对于一个要度量的对象，一般来说会有不同维度的多个特征。比如之前的房屋价格预测例子中，除了房屋的面积大小，可能还有房屋的年限、房屋的层数等等其他特征：
这里由于特征不再只有一个，引入一些新的记号
$n$: 特征的总数
${x}^{\left( i \right)}$: 代表样本矩阵中第 $i$ 行，也就是第 $i$ 个训练实例。
${x}_{j}^{\left( i \right)}$: 代表样本矩阵中第 $i$ 行的第 $j$ 列，也就是第 $i$ 个训练实例的第 $j$ 个特征。
参照上图，则有 ${x}^{(2)}\text{=}\begin{bmatrix} 1416\\\\ 3\\\\ 2\\\\ 40 \end{bmatrix}, {x}^{(2)}_{1} = 1416$
多变量假设函数 $h$ 表示为：$h_{\theta}\left( x \right)={\theta_{0}}+{\theta_{1}}{x_{1}}+{\theta_{2}}{x_{2}}+...+{\theta_{n}}{x_{n}}$
对于 $\theta_0$，和单特征中一样，我们将其看作基础数值。例如，房价的基础价格。
参数向量的维度为 $n+1$，在特征向量中添加 $x_{0}$ 后，其维度也变为 $n+1$， 则运用线性代数，可简化 $h$：
$$ h_\theta\left(x\right)=\begin{bmatrix}\theta_0; \theta_1; ... ;\theta_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_0 \newline x_1 \newline \vdots \newline x_n\end{bmatrix}= \theta^T x $$
$\theta^T$: $\theta$ 矩阵的转置
$x$: 某个样本的特征向量，$n+1$ 维特征量向量
$x_0$: 为了计算方便我们会假设 $x_0^{(i)} = 1$
注：该部分记号较多，记不住可随时回顾！
多变量代价函数类似于单变量代价函数，
即 $J\left( {\theta_{0}},{\theta_{1}}...{\theta_{n}} \right)=\frac{1}{2m}\sum\limits_{i=1}^{m}{{{\left( h_{\theta} \left({x}^{\left( i \right)} \right)-{y}^{\left( i \right)} \right)}^{2}}}$ ，其中 $h_\theta\left(x\right)= \theta^T x$。
前文提到梯度下降对于最小化代价函数的通用性，则多变量梯度下降公式即
$$ \begin{align*} & \text{Repeat until convergence:} ; \lbrace \\ &{{\theta }{j}}:={{\theta }{j}}-\alpha \frac{\partial }{\partial {{\theta }{j}}}J\left( {\theta{0}},{\theta_{1}}...{\theta_{n}} \right) \\ \rbrace \end{align*} $$
解出偏导得：
$$ \begin{align*} & \text{repeat until convergence:} ; \lbrace \\ & \theta_j := \theta_j - \alpha \frac{1}{m} \sum\limits_{i=1}^{m} (h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)}) \cdot x_j^{(i)} ; & \text{for j := 0,1...n}\\ \rbrace \end{align*} $$
可展开为：
$$ \begin{aligned} & \text{repeat until convergence:} ; \lbrace \\ & \theta_0 := \theta_0 - \alpha \frac{1}{m} \sum\limits_{i=1}^{m} (h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)}) \cdot x_0^{(i)}\\ & \theta_1 := \theta_1 - \alpha \frac{1}{m} \sum\limits_{i=1}^{m} (h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)}) \cdot x_1^{(i)} \\ & \theta_2 := \theta_2 - \alpha \frac{1}{m} \sum\limits_{i=1}^{m} (h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)}) \cdot x_2^{(i)} \\ & \vdots \\ & \theta_n := \theta_n - \alpha \frac{1}{m} \sum\limits_{i=1}^{m} (h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)}) \cdot x_n^{(i)} &\\ \rbrace \end{aligned} $$
当然，同单变量梯度下降一样，计算时需要同时更新所有参数。
$h_\theta\left(x\right)= \theta^T x$，则得到同时更新参数的向量化（Vectorization）实现： $$ \theta = \theta - \alpha \frac{1}{m}(X^T(X\theta-y)) $$
$X$: 训练集数据，$m\times(n+1)$ 维矩阵（包含基本特征 $x_0=1$）
在应用梯度下降算法实践时，由于各特征值的范围不一，可能会影响代价函数收敛速度。
以房价预测问题为例，这里选取房屋面积大小和房间数量这两个特征。
下图中，左图是以原始数据绘制的代价函数轮廓图，右图为采用特征缩放（都除以最大值）后图像。左图中呈现的图像较扁，相对于使用特征缩放方法的右图，梯度下降算法需要更多次的迭代。
为了优化梯度下降的收敛速度，采用特征缩放的技巧，使各特征值的范围尽量一致。
除了以上图人工选择并除以一个参数的方式，**均值归一化（Mean normalization）**方法更为便捷，可采用它来对所有特征值统一缩放：
$x_i:=\frac{x_i-average(x)}{maximum(x)-minimum(x)}$, 使得 $x_i \in (-1,1)$
对于特征的范围，并不一定需要使得 $-1 \leqslant x \leqslant 1$，类似于 $1\leqslant x \leqslant 3$ 等也是可取的，而诸如 $-100 \leqslant x \leqslant 100 $，$-0.00001 \leqslant x \leqslant 0.00001$，就显得过大/过小了。
另外注意，一旦采用特征缩放，我们就需对所有的输入采用特征缩放，包括训练集、测试集、预测输入等。
通常，有两种方法来确定函数是否收敛
对于梯度下降，一般采用多次迭代收敛法来得出最小化代价函数的参数值，自动化测试收敛法（如设定 $J\left(\theta\right) < {10}^{-3}$ 时判定收敛）则几乎不会被使用。
我们可以通过绘制代价函数关于迭代次数的图像，可视化梯度下降的执行过程，借助直观的图形来发现代价函数趋向于多少时能趋于收敛，依据图像变化情况，确定诸如学习速率的取值，迭代次数的大小等问题。
对于学习速率 $\alpha$，一般上图展现的为适中情况，下图中，左图可能表明 $\alpha$ 过大，代价函数无法收敛，右图可能表明 $\alpha$ 过小，代价函数收敛的太慢。当然，$\alpha$ 足够小时，代价函数在每轮迭代后一定会减少。
通过不断改变 $\alpha$ 值，绘制并观察图像，并以此来确定合适的学习速率。 尝试时可取 $\alpha$ 如 $\dots;0,001,;0.003,;0.01,;0.03,;0.1,;\dots$
在特征选取时，我们也可以自己归纳总结，定义一个新的特征，用来取代或拆分旧的一个或多个特征。比如，对于房屋面积特征来说，我们可以将其拆分为长度和宽度两个特征，反之，我们也可以合并长度和宽度这两个特征为面积这一个特征。
线性回归只能以直线来对数据进行拟合，有时候需要使用曲线来对数据进行拟合，即多项式回归（Polynomial Regression）。
比如一个二次方模型：$h_{\theta}\left( x \right)={\theta_{0}}+{\theta_{1}}{x_{1}}+{\theta_{2}}{x_{2}^2}$
或者三次方模型：$h_{\theta}\left( x \right)={\theta_{0}}+{\theta_{1}}{x_{1}}+{\theta_{2}}{x_{2}^2}+{\theta_{3}}{x_{3}^3}$
或者平方根模型： $h_{\theta}\left( x \right)={\theta_{0}}+{\theta_{1}}{x_{1}}+{\theta_{2}}{x_{2}^2}+{\theta_{3}}{\sqrt{x_3}}$
在使用多项式回归时，要记住非常有必要进行特征缩放，比如 $x_1$ 的范围为 1-1000，那么 $x_1^2$ 的范围则为 1- 1000000，不适用特征缩放的话，范围更有不一致，也更易影响效率。
对于一些线性回归问题来说，正规方程法给出了一个更好的解决问题的方式。
正规方程法，即令 $\frac{\partial}{\partial{\theta_{j}}}J\left( {\theta_{j}} \right)=0$ ，通过解析函数的方式直接计算得出参数向量的值 $\theta ={{\left( {X^T}X \right)}^{-1}}{X^{T}}y$ ，Octave/Matlab 代码： theta = inv(X'*X)*X'*y。
${X}^{-1}$: 矩阵 $X$ 的逆，在 Octave 中，
inv函数用于计算矩阵的逆，类似的还有pinv函数。
X': 在 Octave 中表示矩阵 X 的转置，即 $X^T$
下表列出了正规方程法与梯度下降算法的对比
| 条件 | 梯度下降 | 正规方程 |
|---|---|---|
| 是否需要选取 $\alpha$ | 需要 | 不需要 |
| 是否需要迭代运算 | 需要 | 不需要 |
| 特征量大[^1]时 | 适用，$O\left(kn^2\right)$ | 不适用，$(X^TX)^{-1}$ 复杂度 $O\left( {{n}^{3}} \right)$ |
| 适用范围[^2] | 各类模型 | 只适用线性模型，且矩阵需可逆 |
[^1]: 一般来说，当 $n$ 超过 10000 时，对于正规方程而言，特征量较大。 [^2]: 梯度下降算法的普适性好，而对于特定的线性回归模型，正规方程是很好的替代品。
正规方程法的推导过程： $$ \begin{aligned} J\left( \theta \right)& =\frac{1}{2m}\sum\limits_{i=1}^{m}{{{\left( {h_{\theta}}\left( {x^{(i)}} \right)-{y^{(i)}} \right)}^{2}}}\\ & =\frac{1}{2m}||X\theta-y||^2 \\ & =\frac{1}{2m}(X\theta-y)^T(X\theta-y) \hspace{15cm} \end{aligned} $$
展开上式可得
$J(\theta )= \frac{1}{2m}\left( {{\theta }^{T}}{{X}^{T}}X\theta -{{\theta}^{T}}{{X}^{T}}y-{{y}^{T}}X\theta + {{y}^{T}}y \right)$
注意到 ${{\theta}^{T}}{{X}^{T}}y$ 与 ${{y}^{T}}X\theta$ 都为标量，实际上是等价的，则：
$J(\theta) = \frac{1}{2m}[X^TX\theta-2\theta^TX^Ty+y^Ty]$
接下来对$J(\theta )$ 求偏导，根据矩阵的求导法则:
$\frac{dX^TAX}{dX}=(A+A^\mathrm{T})X$
$\frac{dX^TA}{dX}={A}$
所以有:
$\frac{\partial J\left( \theta \right)}{\partial \theta }=\frac{1}{2m}\left(2{{X}^{T}}X\theta -2{{X}^{T}}y \right)={{X}^{T}}X\theta -{{X}^{T}}y$
令$\frac{\partial J\left( \theta \right)}{\partial \theta }=0$, 则有 $$ \theta ={{\left( {X^{T}}X \right)}^{-1}}{X^{T}}y $$
（本部分内容为选讲）
正规方程无法应用于不可逆的矩阵，发生这种问题的概率很小，通常由于
特征之间线性相关
比如同时包含英寸的尺寸和米为单位的尺寸两个特征，它们是线性相关的
即 ${x_{1}}={x_{2}}*{{\left( 3.28 \right)}^{2}}$。
特征数量大于训练集的数量 $\left(m \leqslant n \right)$。
如果发现 $X^TX$ 的结果不可逆，可尝试：
对于这类不可逆的矩阵，我们称之为奇异矩阵或退化矩阵。
这种情况下，如果还想使用正规方程法，在Octave中，可以选用 pinv 函数，pinv 区别于 inv，pinv 函数被称为伪逆函数，在矩阵不可逆的时候，使用这个函数仍可正确地计算出 $\theta$ 的值。
复习时可直接倍速回顾视频，笔记整理暂留。
$$ \sum\limits_{j=0}^n\theta_jx_j=\theta^Tx $$
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