时序分析

• 平稳：围绕常值波动

  • 简单平均
  • MA：SMA(simple)，WMA(weight)
  • 指数平滑

    • 一次平滑/单一指数平滑：只有一个平滑系数，且观察值离预测时期越久越，权重就越小。

      • 一次指数平滑是将一段时期的预测值与观察值的线性组合作为$t + 1$时期的预测值，模型：$F_t = \alpha \times Y_t + (1 - \alpha) \times F_{t-1}, \alpha \in [0, 1]$
      • 模型推导预测
        • $F_1 = Y_1$
        • $F_2 = \alpha \times Y_1 + (1 - \alpha) \times F_1 = Y_1$
        • $F_3 = \alpha \times Y_2 + (1 - \alpha) \times F_2 = \alpha \times Y_2 + (1 - \alpha) \times Y_1$
        • $F_4 = \alpha \times Y_3 + (1 - \alpha) \times F_3 = \alpha \times Y_3 + \alpha \times (1 - \alpha) \times Y_2 + (1 - \alpha^2) \times Y_1$
      • 参数$\alpha$
        • $\alpha \to 0$，上次的预测值比重大，模型对时序变化反应慢
        • $\alpha \to 1$，上次的实际值比重大，模型对时序变化反应快
        • 当时序有较大随机波动时，选取较大$\alpha$，以便于能跟上近期变化
        • 特点：平滑值即为预测值，只能预测下一期

    • 二次指数平滑法：对一次指数平滑的再平滑。它适用于具线性趋势的时间数列

      • 公式
        • 计算
          • $S_t^{(1)} = \alpha \times y_t + (1 - \alpha) \times S_{t - 1}^{(1)}$
          • $S_t^{(2)} = \alpha \times S_t^{(1)} + (1 - \alpha) \times S_{t - 1}^{(2)}$
        • 预测
          • $a_t = 2 \times S_t^{(1)} - S_t^{(2)}$
          • $b_t = \frac{\alpha}{1 - \alpha} \times (S_t^{(1)} - S_t^{(2)})$
          • $F_{t+m} = a_t + b_t \times m$
        • 评估
          • MSE = $\sum_{t=1}^n{\frac{(y_t - F_t)^2}{n}}$
          • MAPE = $\sum_{t=1}^n{\mid \frac{y_t - F_t}{y_t} \mid / n}$
      • 参数
        • $S_t^{(1)}$： 第$t$期的一次指数平滑值
        • $S_t^{(2)}$： 第$t$期的二次指数平滑值
        • $a_t, b_t$： 线性平滑模型参数
        • $F_{t+m}$： 第$t+m$期的预测值
        • $m$：预测超前期数

    • 三次指数平滑法：在前两次指数平滑的基础上，使用两次平滑值再进行一次平滑，得到其关于时间的非线性发展趋势模型

      • 公式
        • 计算
          • $S_t^{(1)} = \alpha \times y_t + (1 - \alpha) \times S_{t - 1}^{(1)}$
          • $S_t^{(2)} = \alpha \times S_t^{(1)} + (1 - \alpha) \times S_{t - 1}^{(2)}$
          • $S_t^{(3)} = \alpha \times S_t^{(2)} + (1 - \alpha) \times S_{t - 1}^{(3)}$
        • 预测
          • $a_t = 3 \times S_t^{(1)} - 3 \times S_t^{(2)} + S_t^{(3)}$
          • $b_t = \frac{\alpha}{2 \times (1 - \alpha)^2} \times ((6 - 5 \times \alpha) \times S_t^{(1)} - (10 - 8 \times \alpha) \times S_t^{(2)} + (4 - 3 \times \alpha) \times S_t^{(3)})$
          • $c = \frac{\alpha^2}{(1 - \alpha)^2} \times (S_t^{(1)} - 2 \times S_t^{(2)} + S_t^{(3)})$
          • $F_{t+m} = a_t + b_t \times m + 0.5 \times c_t \times m^2$

    • 评估：均方误

• 趋势型序列

  • 线性趋势预测：$\hat{Y_t} = b_0 + b_1 \times t$
  • 非线性趋势预测
    • 指数曲线(exponential curve)：$\hat{Y_t} = b_0 \times b_1^t$，取对数成线性拟合
  • 多阶曲线

• 复合型序列(趋势、季节、周期和随机成分)：$Y_t = T_t \times S_t \times I_t$

  • 参数
    • $T$：趋势
    • $S$：季节性
    • $C$：周期性或循环波动
    • $I$：随机性或不规则波动
  • 方法

    • 季节性多元回归模型

    • 季节性自回归模型

    • 时间序列分解法

      • 要点：确定并分离季节成分：计算季节指数，以消除季节性
      • 计算季节指数(seasonal index)
        • 移动平均趋势剔除法
          • 计算方法
          • 计算移动平均值（季度数据采用4项MA，月度数据采用12项MA），并对其结果进行中心化处理(CMA二项移动平均)
          • 计算移动平均的比值，即季节比率。将序列的观察值 除以 相应的去中心化移动平均值，然后计算出各比值的季度/月份均值
          • 季节指数调整。由于各季节指数的平均数应应等于1或100%，若根据第二步计算的季节比率的平均值不等于1，则需要进行调整。具体方法：将第二步计算的每个季节比率的平均值除以它们的总平均值
          • 分离季节成分：$\frac{Y}{S} = \frac{T \cdot S \cdot I}{S} = T \cdot I$
          • 预测
            • 对剔除季节性后数据，建立预测模型并预测
            • 计算预测值，最终值 = 预测值 * 季节指数
        • 简单季节指数法
          • 收集历年（通常至少三年）各月/季的统计值
          • 求出各年同月/季观察值的均值(A)
          • 求出历年所有月份/季度的均值($B = \frac{\sum{y_t}}{n}$)
          • 计算各月/季的季节指数：$C = \frac{A}{B}$
          • 预测：根据未来年度的全年趋势预测值，平均后得出月/季的趋势预测值，然后乘以相应的季节指数即可
            • 公式
            • $a = \frac{\sum{y_t}}{n}$
            • $b = \frac{\sum(y_t \times T)}{\sum T^2}$
            • $\hat(y_t) = a + b * T$，最终的结果为：$\hat(y_t) \times C$
            • 参数
              • $y_t$：第$t$期的观察值
              • $n$: 总期数
              • $T$: $\sum T = 0$，故当$n$为奇数时，median(T) = 0

    • Holt趋势法

      • statsmodels api
        • Holt线性趋势：将simple指数平滑模型进行扩展，能够预测包含趋势的数据
          • 公式
            • 水平：$L_t = \alpha \times y_t + (1 - \alpha) \times (l_{t-1} + b_{t-1})$
            • 趋势：$b_t = \beta \times (l_t - l_{t-1}) + (1 - \beta) \times b_{t-1}$
            • 预测：$F_{t+h} = l_t + h \times b_t$
          • 参数
            • $l_t$：时刻$t$的估计水平
            • $b_t$：时刻$t$的预测趋势
            • $\alpha$：水平平滑参数
            • $\beta$：趋势平滑参数
        • 指数趋势
          • 公式
            • 水平：$L_t = \alpha \times y_t + (1 - \alpha) \times (l_{t-1} \times b_{t-1})$
            • 趋势：$b_t = \beta \times \frac{l_t}{l_{t-1}} + (1 - \beta) \times b_{t-1}$
            • 预测：$F_{t+h} = l_t \times b^h_t$
          • 参数：$b_t$：时刻$t$的预估增长类（相对）
        • 阻尼趋势模型(乘法阻尼同指数趋势)
          • 公式
            • 水平：$L_t = \alpha \times y_t + (1 - \alpha) \times (l_{t-1} + \phi \times b_{t-1})$
            • 趋势：$b_t = \beta \times (l_t - l_{t-1}) + (1 - \beta) \times b_{t-1} \times \phi$
            • 预测：$F_{t+h} = l_t + b_t \times \sum_{i=1}^h(\phi^i)$
          • 参数：阻尼系数$\phi \in (0, 1]$

    • Holt-Winters季节性预测模型

      • statsmodels api
      • 构成
        • 预测函数
        • 三次平滑函数
          • 水平函数$L_t$
          • 趋势函数$b_t$
          • 季节分量$S_t$
          • 平滑参数：$\alpha, \beta, \gamma$
      • 公式
        • 水平(季节性调整的观测值和时间点t处非季节预测之间的加权平均值)：$L_t = \alpha \times (y_t - S_{t-s}) + (1 - \alpha) \times (L_{t-1} + b_{t-1})$
        • 趋势(同Holt线性趋势)：$b_t = \beta \times (L_t - L_{t-1}) + (1 - \beta) \times b_{t-1}$
        • 季节(当前季节指数和去年同一季节的季节性指数之间的加权平均值)：$S_t = \gamma \times (y_t - L_t) + (1 - \gamma) \times S_{t-s}$
        • 预测：$F_{t+k} = L_t + k \times b_t + S_{t + k - s}$
      • 参数
        • $s$：季节循环长度
        • $\alpha \in [0, 1], \beta \in [0, 1], \gamma \in [0, 1]$
        • $k$：预测期

    • 自回归移动平均模型(ARIMA)

      • statsmodels api
      • 指数平滑模型都是基于数据中的趋势和季节性的描述
      • ARIMA的目标是描述数据中彼此之间的关系
      • R 语言中的 auto.arima

• RNN

• LTSM

时序分析statsmodels.tsa.api相关介绍

• 统计测试
  • statsmodels.tsa.stattools.acf: 计算自相关性
  • statsmodels.tsa.stattools.acovf: 估计自协方差
  • statsmodels.tsa.stattools.bds: 时序独立性的BDS测试
  • statsmodels.tsa.stattools.ccf: cross-correlation
  • statsmodels.tsa.stattools.ccovf: 两个时序间的cross协方差
  • statsmodels.tsa.stattools.coint: 测试单变量的非协整
  • statsmodels.tsa.stattools.kpss: 平稳性的Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin检验
  • statsmodels.tsa.stattools.periodogram: 计算x的固有频率的周期。
  • statsmodels.tsa.stattools.q_stat: LBQ统计量。
• 单变量时序分析
  • statsmodels.tsa.ar_model.AR：AR模型
  • statsmodels.tsa.arima_model.ARIMA：ARIMA模型
  • statsmodels.tsa.arima_model.ARMA
  • statsmodels.tsa.statespace.sarimax.SARIMAX：具有季节回归模型的季节性自回归综合移动平均线
    • predict的参数默认值dynamic=False样本内时，滞后值用于预测：模型被训练到上一个值进行下一个预测
    • 带有季节性的ARIMA模型，通常，将模型参数设置为D不得超过1。并且总的差异'd + D'永远不会超过2。如果模型具有季节性成分，请尝试仅保留SAR或SMA项
• 多变量时序分析
  • statsmodels.tsa.statespace.dynamic_factor.DynamicFactor：动态因素模型
  • statsmodels.tsa.vector_ar.var_model.VAR：拟合VAR(p)过程并进行滞后顺序选择
• 指数平滑
  • statsmodels.tsa.holtwinters.ExponentialSmoothing：Holt Winter指数平滑
  • statsmodels.tsa.holtwinters.Holt：Holt指数平滑
  • statsmodels.tsa.holtwinters.SimpleExpSmoothing：simple
• 过滤器和分解
  • statsmodels.tsa.seasonal.seasonal_decompose：ma进行季节分解
  • statsmodels.tsa.seasonal.STL：LOESS进行季节趋势分解
  • statsmodels.tsa.filters.bk_filter.bkfilter：使用Baxter-King带通滤波器对时间序列进行滤波
  • statsmodels.tsa.filters.cf_filter.cffilter：Christiano Fitzgerald不对称随机游走滤波器
  • statsmodels.tsa.filters.hp_filter.hpfilter：Hodrick-Prescott过滤器
• 马尔科夫
  • statsmodels.tsa.regime_switching.markov_autoregression.MarkovAutoregression：马尔科夫switching自回归模型
  • statsmodels.tsa.regime_switching.markov_regression.MarkovRegression：一阶k体制马尔科夫switching回归模型

/code/python/learn

• run.py: 主程序
• load_data.py：文件读取
• algorithm
  • arima.py：自回归移动平均模型
  • exp_smoothing.py：指数平滑
    • 一次指数平滑
    • 二次指数平滑
    • 三次指数平滑
  • holt.py: holt模型
  • holt_winters.py：Holt-Winters季节性预测模型
  • seasonal_index.py：季节指数
    • 移动平均趋势剔除法
    • 简单季节指数法
  • simple_ma.py：简单移动平均